已知二面角α-l-β的大小為60°，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，AC=BD=4，CD=3，則AD與BC所成角的余弦值為
 
．
考點(diǎn)：異面直線及其所成的角
專題：空間角
分析：由于
AC
=
AD
+
DB
+
BC
，利用數(shù)量積的性質(zhì)可得：
AC
2=
AD
2+
DB
2+
BC
2+2
AD
•
DB
+2
AD
•
BC
+2
DB
•
BC
，把已知代入即可得出．
解答： 解：如圖所示，過D在平面α內(nèi)作DE⊥l，過A作AE∥l，DE∩AE=E，BE，AB．
則∠BDE是二面角α-l-β，其大小為60°，DE=AC=4，AE=CD=3．
∴△BDE是等邊三角形．
由上面可知：l⊥平面BDE，AE∥l．
∴AE⊥平面BDE．
∴AE⊥BE．
∴AB=
BE2+AE2
=5．
∵
AB
=
AD
+
DC
+
CB
，
∴
AB
2=
AD
2+
DC
2+
CB
2+2
AD
•
DC
+2
AD
•
CB
+2
DC
•
CB
．
∵AD=
CD2+AC2
=5，同理可得BC=5．
AD
•
DC
=-
DA
•
DC
=-9，
DC
•
CB
=-
CD
•
CB
=-9．
∴52=52+32+52-2×9+2
AD
•
CB
-2×9，
∴
AD
•
CB
=1，
∴5×5cos＜
AD
，
CB
＞=
1
25

∴異面直線AD與BC所成角的余弦值為
1
25
．
故答案為：
1
25
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的性質(zhì)、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn)．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，點(diǎn)M是線段PC的中點(diǎn)，求平面MBQ與平面ABCD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，且cosA=
4
5
，
sinB
sinA
=
b
2
，則△ABC的面積S的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（-x）=-f（x），f（x-3）=f（x），當(dāng)x∈（0，
3
2
）時(shí)，f（x）=ln（x2-2x+2），則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點(diǎn)A（2，3）在矩陣M=
1
3
1
3
1
3
1
3
對應(yīng)變換作用下得到點(diǎn)的坐標(biāo)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若對于任意實(shí)數(shù)x不等式x+|x-2m|＞4恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是：
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2-1，a為一個(gè)正常數(shù)，且f[f（-1）]=-1，則實(shí)數(shù)a=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)（3，
π
3
）且垂直于極軸的直線方程的極坐標(biāo)方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
e1
，
e2
為單位向量，且滿足（2
e1
+
e2
）•
e2
=0，則＜
e1
，
e2
＞=（　�。�
A、30°B、60°
C、120°D、150°

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