Question

9．已知cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，則$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$=-$\frac{28}{75}$．

Answer 1

分析 已知等式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理求出cosx-sinx的值，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosx+sinx與2sinxcosx的值，原式化簡后代入計算即可求出值．

解答 解：∵cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx-sinx）=$\frac{3}{5}$，
∴cosx-sinx=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
兩邊平方得：cos²x+sin²x-2sinxcosx=1-2sinxcosx=$\frac{18}{25}$，即2sinxcosx=$\frac{7}{25}$，
∵cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），且$\frac{5π}{3}$＜x+$\frac{π}{4}$＜2π，
∴cosx+sinx＜0，
∴（cosx+sinx）²=1+2sinxcosx=$\frac{32}{25}$，
開方得：cosx+sinx=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
則原式=$\frac{2sinxcosx+2si{n}^{2}x}{1-\frac{sinx}{cosx}}$=$\frac{2sinxcosx（sinx+cosx）}{cosx-sinx}$=-$\frac{\frac{7}{25}×\frac{4\sqrt{2}}{5}}{\frac{3\sqrt{2}}{5}}$=-$\frac{28}{75}$．
故答案為：-$\frac{28}{75}$

點評 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．