Question

19．在△ABC中，已知tanA，tanB是關(guān)于x的方程x²+（x+1）p+1=0的兩個實根．則實數(shù)p的取值集合為（　�。�

• A． （-∞，2-2$\sqrt{2}$]∪[2+2$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （-2，2-2$\sqrt{2}$）
• C． [2-2$\sqrt{2}$，2+2$\sqrt{2}$]
• D． （-1，2-2$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 由題意利用韋達(dá)定理、兩角和的正切公式求得tan（A+B）的值，可得tanA∈（0，1），tanB∈（0，1），即方程x²+mx+m+1=0的兩個實根均在（0，1）內(nèi)，再由-p=$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$=（x+1）+$\frac{2}{x+1}$-2，[x∈（0，1）]，求得p的范圍．

解答 解：依題意有，tanA+tanB=-p，tanAtanB=p+1，
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{-p}{1-（p+1）}$=1，
∵0＜A+B＜π，∴A+B=$\frac{π}{4}$，從而0＜A＜$\frac{π}{4}$，0＜B＜$\frac{π}{4}$，
故tanA∈（0，1），tanB∈（0，1），
即方程x²+mx+m+1=0的兩個實根均在（0，1）內(nèi)，
則由x²+px+p+1=0，可得-p（x+1）=x²+1，
即-p=$\frac{{x}^{2}+1}{x+1}$=$\frac{{（x+1）}^{2}-2（x+1）+2}{x+1}$=（x+1）+$\frac{2}{x+1}$-2，[x∈（0，1）]；
故所求p的范圍是（-1，2-2 $\sqrt{2}$]，
故選：D．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的零點，韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系），兩角和的正切公式，其中利用韋達(dá)定理及兩角和的正切公式，確定方程兩個根的范圍是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．