Question

設(shè)α、β是方程x²-2kx+k+6=0的兩個實根，則（α-1）²+（β-1）²的最小值是______．

Answer 1

∵α、β是方程x²-2kx+k+6=0的兩個實根，
∴判別式△=4k²-4（k+6）=4（k-3）（k+2）≥0，解得  k≥3，或 k≤-2．
且α+β=2k，αβ=k+6，
∴（α-1）²+（β-1）² =α²+β²-2（α+β ）+2=（α+β）²-2αβ-2（α+β ）+2=4k²-2（k+6）-2•2k+2=4•(k-

3

4

)2-

49

4

，
故當(dāng)k=3時，（α-1）²+（β-1）²有最小值是 4•(3-

3

4

)2-

49

4

=8，
故答案為 8．