在平面直角坐標系xOy中，已知點A（
6
5
，0），P（cosα，sinα），其中0≤α≤
π
2
．
（1）若cosα=
5
6
，求證：
PA
⊥
PO
；
（2）若
PA
∥
PO
，求sin（2α+
π
4
）的值．
考點：兩角和與差的正弦函數(shù),數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系
專題：三角函數(shù)的求值
分析：（1）由題意易得點P的坐標，進而可得
PA
和
PO
的坐標，驗證其數(shù)量積為0即可；
（2）由題意
PA
和
PO
坐標，由
PA
∥
PO
結(jié)合角的范圍可得α=0，代入計算即可．
解答： 解：（1）∵cosα=
5
6
，0≤α≤
π
2
，
∴sinα=
1-cos2α
=
11
6
，
∴點P的坐標為（
5
6
，
11
6
）．
∴
PA
=（
11
30
，-
11
6
），
PO
=（-
5
6
，-
11
6
）．
∴
PA
•
PO
=
11
30
×（-
5
6
）+（-
11
6
）2=0，
∴
PA
⊥
PO

（2）由題意
PA
=（
6
5
-cosα，-sinα），
PO
=（-cosα，-sinα）．
∵
PA
∥
PO
，∴-sinα•（
6
5
-cosα）-sinαcosα=0，解得sinα=0．
∵0≤α≤
π
2
，∴α=0，∴sin（2α+
π
4
）=sin
π
4
=
2
2
．
點評：本題考查三角函數(shù)公式，涉及向量的數(shù)量積與垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-ax2+3x．
（1）若x=3是f（x）的一個極值點，求f（x）在區(qū)間[2，a]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ax
x2+b
在x=1處取得極值2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）實數(shù)k滿足什么條件時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2k，4k+1）上單調(diào)遞增？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)A是單位圓和x軸正半軸的交點，P，Q是單位圓上兩點，O是坐標原點，且∠AOP=β，β∈（0，
π
2
），∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（1）若點Q的坐標是 （m，
4
5
），其中m＜0，求cos（π-α）+sin（-α）的值．
（2）設(shè)P（
3
2
，
1
2
），函數(shù)f（α）=sin（α+β），求f（α）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某志愿者到某山區(qū)小學支教，為了解留守兒童的幸福感，該志愿者對某班40名學生進行了一次幸福指數(shù)的調(diào)查問卷，并用莖葉圖表示如下（注：圖中幸福指數(shù)低于70，說明孩子幸福感弱；幸福指數(shù)不低于70，說明孩子幸福感強）．
（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認為孩子的幸福感強與是否是留守兒童有關(guān)？
幸福感強幸福感弱合 計
留守兒童
非留守兒童
合 計
（Ⅱ）從15個留守兒童中按幸福感強弱進行分層抽樣，共抽取5人，又在這5人中隨機抽取2人進行家訪，求這2個學生中恰有一人幸福感強的概率．
參考公式：Χ2=
n(n11n22-n12n21)2
n1+n2+n+1n+2
；  附表：
P（x2≥k）0.0500.010
k3.8416.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

不用計算器計算
（1）（-
27
8
） -
2
3
+（0.002） -
1
2
-10（
5
-2）-1+（
2
-
3
）0
（2）log3
27
+lg25+lg4+7log72+（-9.8）0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+
m
x
，m∈R
（1）當m=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求f（x）的最小值；
（2）討論函數(shù)g（x）=f′（x）-
x
3
零點的個數(shù)；
（3）（理科）若對任意b＞a＞0，
f(b)-f(a)
b-a
＜1恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在雅安發(fā)生地震災(zāi)害之后，救災(zāi)指揮部決定建造一批簡易房，供災(zāi)區(qū)群眾臨時居住，房形為長方體，高2.5米，前后墻用2.5米高的彩色鋼板，兩側(cè)用2.5米高的復合鋼板，兩種鋼板的價格都用長度來計算（即鋼板的高均為2.5米，用長度乘以單價就是這塊鋼板的價格），每米單價：彩色鋼板為450元，復合鋼板為200元，房頂用其他材料建造，每平方米材料費為200元，每套房材料費控制在32000元以內(nèi)．
（1）設(shè)房前面墻的長為x，兩側(cè)墻的長為y，一套簡易房所用材料費為p，試用x，y表示p；
（2）一套簡易房面積S的最大值是多少？當S最大時，前面墻的長度是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
3sinα+cosα
3cosα-sinα
=2，則2+3sin（α-3π）sin（
3π
2
-α）-cos2（-α）的值為
 
．

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