Question

1．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且f（$\frac{π}{4}$）=0，其中a∈R，θ∈（0，π），f（x）=（a+2cos²x）cos（2x+θ）．
（1）求a，θ的值；
（2）若f（$\frac{a}{4}$）=-$\frac{2}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），求sin（α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）把x=$\frac{π}{4}$代入函數(shù)解析式可求得a的值，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推斷出f（0）=0，進(jìn)而求得cosθ，則θ的值可得．
（2）利用f（$\frac{α}{4}$）=-$\frac{2}{5}$和函數(shù)的解析式可求得sinα，cosα，最后利用兩角和與差的正弦公式求得答案．

解答 解：（1）f（$\frac{π}{4}$）=-（a+1）sinθ=0，
∵θ∈（0，π）．
∴sinθ≠0，
∴a+1=0，即a=-1，
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（0）=（a+2）cosθ=0，
∴cosθ=0，θ=$\frac{π}{2}$．
（2）由（1）知f（x）=（-1+2cos²x）cos（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x•（-sin2x）=-$\frac{1}{2}sin4x$，
∴f（$\frac{α}{4}$）=-$\frac{1}{2}$sinα=-$\frac{2}{5}$，
∴sinα=$\frac{4}{5}$，
∵α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cosα=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=sinαcos$\frac{π}{3}$+cosαsin$\frac{π}{3}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，函數(shù)奇偶性問(wèn)題．綜合運(yùn)用了所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．