A. | 重心,外心,內(nèi)心 | B. | 重心,垂心,內(nèi)心 | C. | 重心,垂心,外心 | D. | 內(nèi)心,外心,重心 |
分析 假設(shè)三角形內(nèi)一點O分別為內(nèi)心,外心,重心,利用結(jié)論S△BOC$•\overrightarrow{OA}$+S△AOC$•\overrightarrow{OB}$+S△AOB$•\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$推導(dǎo)變形驗證.
解答 解:(1)取AC中點D,連結(jié)GD,則$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}$=2$\overrightarrow{GD}$,∵$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$,∴$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}$=-$\overrightarrow{GB}$.
∴2$\overrightarrow{GD}$=-$\overrightarrow{GC}$.∴G在△ABC的中線BD上,同理可得G在其它兩邊的中線上,
∴G是△ABC的重心.
(2)∵S△BCN•$\overrightarrow{NA}$+S△ACN•$\overrightarrow{NB}$+S△ABN$•\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$
∴當(dāng)N是△ABC的外心時,設(shè)外接圓半徑為r,
則S△BCN=$\frac{1}{2}sin∠$BNC•r2=$\frac{{r}^{2}}{2}$sin2∠BAC,
S△ACN=$\frac{1}{2}$sin∠ACN•r2=$\frac{{r}^{2}}{2}$sin2∠ABC,
S△ABN=$\frac{1}{2}$sin∠ANB•r2=$\frac{{r}^{2}}{2}$sin2∠ACB.
∴sin2∠BAC•$\overrightarrow{NA}$+sin2∠ABC•$\overrightarrow{NB}$+sin2∠ACB•$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$.
(3)延長CP交AB于D,則$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB}$,
∵a$\overrightarrow{PA}$+b$\overrightarrow{PB}$+c$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow 0$,
∴a($\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}$)+b($\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB}$)+c$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$,
設(shè)$\overrightarrow{PD}$=k$\overrightarrow{PC}$,則(ka+kb+c)$\overrightarrow{PC}$+( a$\overrightarrow{DA}$+b$\overrightarrow{DB}$)=$\overrightarrow{0}$,
∵$\overrightarrow{DA}$與$\overrightarrow{DB}$共線,$\overrightarrow{PC}$與$\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{DB}$不共線,
∴ka+kb+c=0,a$\overrightarrow{DA}$+b$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{0}$,
∴$\frac{DA}{DB}$=-$\frac{a}$,
∴CD為∠ACB的平分線,同理可證其它的兩條也是角平分線.
∴P是△ABC的內(nèi)心.
綜上,G是三角形的重心,N是三角形的外心,P是三角形的內(nèi)心.
故選:A.
點評 本題考查了平面向量的基本定理,記住三角形內(nèi)一點的一般結(jié)論是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.
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A. | 直角三角形 | B. | 銳角三角形 | C. | 鈍角三角形 | D. | 等邊三角形 |
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | 1 | D. | $\sqrt{3}$ |
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