Question

3．已知G，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且分別滿足$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，sin2A•$\overrightarrow{NA}$+sin2B•$\overrightarrow{NB}$+sin2C•$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$，a$\overrightarrow{PA}$+b$\overrightarrow{PB}$+c$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow 0$，則點G，N，P依次是△ABC的（　　）

• A． 重心，外心，內(nèi)心
• B． 重心，垂心，內(nèi)心
• C． 重心，垂心，外心
• D． 內(nèi)心，外心，重心

Answer 1

分析 假設(shè)三角形內(nèi)一點O分別為內(nèi)心，外心，重心，利用結(jié)論S_△BOC$•\overrightarrow{OA}$+S_△AOC$•\overrightarrow{OB}$+S_△AOB$•\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$推導(dǎo)變形驗證．

解答 解：（1）取AC中點D，連結(jié)GD，則$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}$=2$\overrightarrow{GD}$，∵$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}$=-$\overrightarrow{GB}$．

∴2$\overrightarrow{GD}$=-$\overrightarrow{GC}$．∴G在△ABC的中線BD上，同理可得G在其它兩邊的中線上，
∴G是△ABC的重心．
（2）∵S_△BCN•$\overrightarrow{NA}$+S_△ACN•$\overrightarrow{NB}$+S_△ABN$•\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$

∴當(dāng)N是△ABC的外心時，設(shè)外接圓半徑為r，
則S_△BCN=$\frac{1}{2}sin∠$BNC•r²=$\frac{{r}^{2}}{2}$sin2∠BAC，
S_△ACN=$\frac{1}{2}$sin∠ACN•r²=$\frac{{r}^{2}}{2}$sin2∠ABC，
S_△ABN=$\frac{1}{2}$sin∠ANB•r²=$\frac{{r}^{2}}{2}$sin2∠ACB．
∴sin2∠BAC•$\overrightarrow{NA}$+sin2∠ABC•$\overrightarrow{NB}$+sin2∠ACB•$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$．
（3）延長CP交AB于D，則$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB}$，

∵a$\overrightarrow{PA}$+b$\overrightarrow{PB}$+c$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow 0$，
∴a（$\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}$）+b（$\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB}$）+c$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
設(shè)$\overrightarrow{PD}$=k$\overrightarrow{PC}$，則（ka+kb+c）$\overrightarrow{PC}$+（ a$\overrightarrow{DA}$+b$\overrightarrow{DB}$）=$\overrightarrow{0}$，
∵$\overrightarrow{DA}$與$\overrightarrow{DB}$共線，$\overrightarrow{PC}$與$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DB}$不共線，
∴ka+kb+c=0，a$\overrightarrow{DA}$+b$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\frac{DA}{DB}$=-$\frac{a}$，
∴CD為∠ACB的平分線，同理可證其它的兩條也是角平分線．
∴P是△ABC的內(nèi)心．
綜上，G是三角形的重心，N是三角形的外心，P是三角形的內(nèi)心．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，記住三角形內(nèi)一點的一般結(jié)論是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．