3.已知G,N,P在△ABC所在平面內(nèi),a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,且分別滿足$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$,sin2A•$\overrightarrow{NA}$+sin2B•$\overrightarrow{NB}$+sin2C•$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$,a$\overrightarrow{PA}$+b$\overrightarrow{PB}$+c$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow 0$,則點G,N,P依次是△ABC的(  )
A.重心,外心,內(nèi)心B.重心,垂心,內(nèi)心C.重心,垂心,外心D.內(nèi)心,外心,重心

分析 假設(shè)三角形內(nèi)一點O分別為內(nèi)心,外心,重心,利用結(jié)論S△BOC$•\overrightarrow{OA}$+S△AOC$•\overrightarrow{OB}$+S△AOB$•\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$推導(dǎo)變形驗證.

解答 解:(1)取AC中點D,連結(jié)GD,則$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}$=2$\overrightarrow{GD}$,∵$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$,∴$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}$=-$\overrightarrow{GB}$.

∴2$\overrightarrow{GD}$=-$\overrightarrow{GC}$.∴G在△ABC的中線BD上,同理可得G在其它兩邊的中線上,
∴G是△ABC的重心.
(2)∵S△BCN•$\overrightarrow{NA}$+S△ACN•$\overrightarrow{NB}$+S△ABN$•\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$

∴當(dāng)N是△ABC的外心時,設(shè)外接圓半徑為r,
則S△BCN=$\frac{1}{2}sin∠$BNC•r2=$\frac{{r}^{2}}{2}$sin2∠BAC,
S△ACN=$\frac{1}{2}$sin∠ACN•r2=$\frac{{r}^{2}}{2}$sin2∠ABC,
S△ABN=$\frac{1}{2}$sin∠ANB•r2=$\frac{{r}^{2}}{2}$sin2∠ACB.
∴sin2∠BAC•$\overrightarrow{NA}$+sin2∠ABC•$\overrightarrow{NB}$+sin2∠ACB•$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$.
(3)延長CP交AB于D,則$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB}$,

∵a$\overrightarrow{PA}$+b$\overrightarrow{PB}$+c$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow 0$,
∴a($\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}$)+b($\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DB}$)+c$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$,
設(shè)$\overrightarrow{PD}$=k$\overrightarrow{PC}$,則(ka+kb+c)$\overrightarrow{PC}$+( a$\overrightarrow{DA}$+b$\overrightarrow{DB}$)=$\overrightarrow{0}$,
∵$\overrightarrow{DA}$與$\overrightarrow{DB}$共線,$\overrightarrow{PC}$與$\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{DB}$不共線,
∴ka+kb+c=0,a$\overrightarrow{DA}$+b$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{0}$,
∴$\frac{DA}{DB}$=-$\frac{a}$,
∴CD為∠ACB的平分線,同理可證其它的兩條也是角平分線.
∴P是△ABC的內(nèi)心.
綜上,G是三角形的重心,N是三角形的外心,P是三角形的內(nèi)心.
故選:A.

點評 本題考查了平面向量的基本定理,記住三角形內(nèi)一點的一般結(jié)論是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.在10與100之間插入50個數(shù),使它們?nèi)w構(gòu)成等差數(shù)列,求插入的50個數(shù)中整數(shù)的和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知函數(shù)為奇函數(shù),且f($\frac{π}{4}$)=0,其中a∈R,θ∈(0,π),f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ).
(1)求a,θ的值;
(2)若f($\frac{a}{4}$)=-$\frac{2}{5}$,α∈($\frac{π}{2}$,π),求sin(α+$\frac{π}{3}$)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.在△ABC中,a2+b2+c2=2$\sqrt{3}$bcsinA,則△ABC的形狀是(  )
A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sinAsinC=$\frac{1}{4}$,b=$\sqrt{6}$,B=120°,則△ABC的面積等于(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.1D.$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

8.某班50名學(xué)生在一次百米測試中,成績?nèi)吭?3秒與18秒之間,大于或等于14秒的為良好,由測試結(jié)果得到的頻率分布直方圖如圖,則該班百米測試中成績良好的人數(shù)有人47.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.某家庭進行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比,已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元(如圖).
(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的收益和投資的函數(shù)關(guān)系;
(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金,全部用于理財投資,問:怎樣分配資金能使投資獲得最大的收益,其最大收益為多少萬元?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.若對任意的x≥2,都有(x+a)|x+a|+(ax)|x|≤0,則a的最大值為-1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.已知tanα=2,則$\frac{sinα+2cosα}{sinα-cosα}$=( 。
A.2B.3C.4D.6

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案