Question

已知f(x)＝xln x，g(x)＝x³＋ax²－x＋2.

(1)如果函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)g(x)的解析式；

(2)在(1)的條件下，求函數(shù)y＝g(x)的圖像在點(diǎn)P(－1,1)處的切線方程；

(3)若不等式2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)g′(x)＝3x²＋2ax－1，由題意得3x²＋2ax－1<0的解集是，

即3x²＋2ax－1＝0的兩根分別是－，1.

將x＝1或x＝－代入方程3x²＋2ax－1＝0，得a＝－1.∴g(x)＝x³－x²－x＋2.

(2)由(1)知，g′(x)＝3x²－2x－1，

∴g′(－1)＝4，∴點(diǎn)P(－1,1)處的切線斜率k＝g′(－1)＝4，

∴函數(shù)y＝g(x)的圖像在點(diǎn)P(－1,1)處的切線方程為y－1＝4(x＋1)，即4x－y＋5＝0.

(3)∵f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，∴2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，即2xln x≤3x²＋2ax＋1對(duì)x∈(0，＋∞)上恒成立．

可得a≥ln x－－在x∈(0，＋∞)上恒成立．

令h(x)＝ln x－－，

則h′(x)＝－＋＝－.

令h′(x)＝0，得x＝1或x＝－(舍)．

當(dāng)0<x<1時(shí)，h′(x)>0；

當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)<0.

∴當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)取得最大值，

h(x)_max＝h(1)＝－2，

∴a≥－2.∴a的取值范圍是[－2，＋∞)．