Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=3x+λ3﹣x（λ∈R）．
（1）當λ=﹣4時，求函數(shù)f（x）的零點；
（2）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求實數(shù)λ的值；
（3）若不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）當λ=﹣4時，f（x）=3x﹣43﹣x ，
令f（x）=0，得3x﹣43﹣x=0，
即（3x）2﹣4=0，解得x=log32．
故函數(shù)f（x）的零點為log32；
（2）∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x）．
∴3﹣x+λ3x=3x+λ3﹣x ， 即（1﹣λ）（3﹣x﹣3x）=0．
又∵3﹣x﹣3x不恒為零，
∴1﹣λ=0，即λ=1；
（3）由f（x）≤6，得3x+λ3﹣x≤6，
即．
令t=3x∈[1，9]，原不等式等價于t+在t∈[1，9]恒成立．
亦即λ≤﹣t2+6t在t∈[1，9]上恒成立．
令g（t）=﹣t2+6t，t∈[1，9]．
當t=9時，g（t）有最小值g（9）=﹣27．
∴λ≤﹣27．
【解析】（1）把λ=﹣4代入函數(shù)解析式，求解指數(shù)方程求得函數(shù)f（x）的零點；
（2）直接利用偶函數(shù)的性質(zhì)列式求得λ的值；
（3）由不等式f（x）≤6在x∈[0，2]上恒成立，分離參數(shù)λ，換元后利用配方法求得最小值得答案．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)奇偶性的性質(zhì)(在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)．