Question

【題目】設(shè)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點對應(yīng).

（1）若是關(guān)于的一元二次方程的一個虛根，且，求實數(shù)的值；

（2）設(shè)復(fù)數(shù)滿足條件（其中、常數(shù)），當(dāng)為奇數(shù)時，動點的軌跡為，當(dāng)為偶數(shù)時，動點的軌跡為，且兩條曲線都經(jīng)過點，求軌跡與的方程；

（3）在（2）的條件下，軌跡上存在點，使點與點的最小距離不小于，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）m＝4；（2）C1的方程是：（x），C2的方程是：．（3）或．

【解析】

（1）由實系數(shù)方程虛根成對，利用韋達(dá)定理直接求出m的值．

（2）方法一：分n為奇數(shù)和偶數(shù)，化出a的范圍，聯(lián)立雙曲線方程，求出a值，推出雙曲線方程即可．

方法二：由題意分a的奇偶數(shù)，聯(lián)立方程組，求出復(fù)數(shù)β，解出a，根據(jù)雙曲線的定義求出雙曲線方程．

（3）設(shè)點A的坐標(biāo)，求出|AB|表達(dá)式，根據(jù)x范圍，x的對稱軸討論，時，|AB|的最小值，不小于，求出實數(shù)x0的取值范圍．

（1）β是方程的一個虛根，則是方程的另一個虛根，

則，所以m＝4

（2）方法1：①當(dāng)n為奇數(shù)時，| +3|﹣|﹣3|＝2a，常數(shù)），

軌跡C1為雙曲線一支，其方程為，x≥a；

②當(dāng)n為偶數(shù)時，| +3|+|﹣3|＝4a，常數(shù)），

軌跡C2為橢圓，其方程為；

依題意得方程組

解得a2＝3，

因為，所以，

此時軌跡為C1與C2的方程分別是：，x，．

方法2：依題意得

軌跡為C1與C2都經(jīng)過點，且點對應(yīng)的復(fù)數(shù)，

代入上式得，

即對應(yīng)的軌跡C1是雙曲線，方程為；

對應(yīng)的軌跡C2是橢圓，方程為．

（3）由（2）知，軌跡C2：，設(shè)點A的坐標(biāo)為（x，y），

則

，

當(dāng)即時，

當(dāng)即時，，

綜上或．