Question

9．若橢圓的兩準線之間的距離不大于長軸長的3倍，則它的離心率e的范圍是[$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 假設假設焦點在x軸上，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），由題意可知：2×$\frac{{a}^{2}}{c}$≤3×2a，由e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{3}$，由0＜e＜1，即可求得離心率e的范圍．

解答 解：假設焦點在x軸上，設橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由題意可知：兩準線之間的距離d=2×$\frac{{a}^{2}}{c}$，長軸長2a，
∴2×$\frac{{a}^{2}}{c}$≤3×2a，整理得：a≤3c，即$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{3}$
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{3}$，
由0＜e＜1，
∴離心率e的范圍[$\frac{1}{3}$，1），
同理焦點在y上成立，
故答案為：[$\frac{1}{3}$，1）．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質(zhì)，考查橢圓的第二定義，考查離心率的取值范圍，屬于基礎題．