Question

14．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）當a=3時，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若f（x）=|x-1+a|，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用分段函數(shù)的形式寫出f（x）的解析式，畫出圖象，求得與y=4的交點，通過圖象即可得到所求解集；
（Ⅱ）運用絕對值不等式的性質(zhì)可得|2x-1|+|x-a|≥|（2x-1）-（x-a）|=|x-1+a|，而|x-1+a|?（2x-1）（x-a）≤0，對a討論，分當a＜$\frac{1}{2}$時，當a=$\frac{1}{2}$時，當a＞$\frac{1}{2}$時，由二次不等式的解法即可得到所求解集．

解答 解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）=|2x-1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{3x-4，x≥3}\\{x+2，\frac{1}{2}＜x＜3}\\{4-3x，x≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$…（2分）
其圖象如圖所示，與直線y=4相交于點A（0，4）和B（2，4），…（4分）
∴不等式f（x）≤4的解集為{x|0≤x≤2}，…（5分）
（Ⅱ）∵f（x）=|2x-1|+|x-a|≥|（2x-1）-（x-a）|=|x-1+a|，
∴f（x）=|x-1+a|?（2x-1）（x-a）≤0，…（7分）
①當a＜$\frac{1}{2}$時，x的取值范圍是{x|a$≤x≤\frac{1}{2}$}；
②當a=$\frac{1}{2}$時，x的取值范圍是{$\frac{1}{2}$}；
③當a＞$\frac{1}{2}$時，x的取值范圍是{x|$\frac{1}{2}$≤x≤a}．…（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法和性質(zhì)，注意運用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．