Question

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)（）．

（1）當(dāng)時，求過點且與曲線相切的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）若函數(shù)有兩個極值點，，且，記表示不大于的最大整數(shù)，試比較與的大小．

Answer 1

（1）（2）函數(shù)的增區(qū)間為；，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為與； 函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

（3） 當(dāng)時，；

當(dāng)時，

【解析】

試題分析：當(dāng)時，曲線方程為，設(shè)切點為求導(dǎo)得到切線的斜率為

可得切線方程為將切線過點代入可得，則切線方程易得

（2）函數(shù)的定義域為，且令并結(jié)合定義域可得分，，討論其單調(diào)增區(qū)間

（3）根據(jù)題意，，是的兩個根，由及可得，進(jìn)而解得

，則，又由得到，則， 均可由表示，且時， ，即函數(shù)是上的增函數(shù)

所以，故的取值范圍是

則. 同理可得或，則與的大小可知

試題解析：（1）顯然曲線方程為，設(shè)切點為

由得到切線的斜率為.則切線方程為

因為切線過點，所以，解得

所以切線方程為

（2）顯然函數(shù)的定義域為，且

令并結(jié)合定義域可得

對應(yīng)一元二次方程的判別式

故當(dāng)，即時，對應(yīng)方程有兩個不等實根

與

當(dāng)，即時，恒成立，

所以函數(shù)的增區(qū)間為

當(dāng)時，對應(yīng)方程兩根為正，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

與

當(dāng)時，對應(yīng)方程兩根，，

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

（3），令得

由題意知方程有兩個不相等的正數(shù)根，則

解得，

解方程得，則.

又由得，

所以=,

當(dāng)時， ，即函數(shù)是上的增函數(shù)

所以，故的取值范圍是

則.

同理可求，=，

，即函數(shù)是上的減函數(shù)

所以，故的取值范圍是

則或

當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線，單調(diào)性等性質(zhì)

考點分析： 考點1：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 考點2：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 考點3：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 考點4：函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 考點5：函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 試題屬性

• 題型：
• 難度：
• 考核：
• 年級：