Question

20．已知離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）左、右兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓C上
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）O為坐標原點，A為橢圓C上頂點，直線F₁A上有一動點P，求|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|+|$\overrightarrow{PO}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件列方程組，解出a，b即可；
（2）求出直線F₁A的方程，得出O關(guān)于直線F₁A的對稱點，則|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|+|$\overrightarrow{PO}$|的最小值為|MF₂|．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），A（0，1），
直線F₁A的方程為y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
設(shè)O關(guān)于直線F₁A的對稱點為M（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{y}{2}=\sqrt{3}•\frac{x}{2}+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得M（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴|MF₂|=$\sqrt{（-\frac{3}{2}-1）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∵|OP|=|PM|，
∴|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|+|$\overrightarrow{PO}$|=|PM|+|PF₂|≥|MF₂|=$\sqrt{7}$，
∴|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|+|$\overrightarrow{PO}$|的最小值為$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．