Question

已知函數f（x）是R上的可導函數，且f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，當x≠0時，有f′（x）=

f(x)

x

＞0，則函數F（x）=xf（x）+

1

x

的零點個數是（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：將函數F（x）=0，轉化為xf（x）=-

1

x

，然后利用函數和導數之間的關系研究函數g（x）=xf（x）的單調性和取值范圍，利用數形結合即可得到結論

解答： 解：由數F（x）=xf（x）+

1

x

=0，得xf（x）=-

1

x

，
設 g（x）=xf（x），
則g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵x≠0時，有f′（x）+

f(x)

x

＞0，
∴x≠0時，

f(x)+xf′(x)

x

＞0，
即當x＞0時，g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，此時函數g（x）單調遞增，
此時g（x）＞g（0）=0，
當x＜0時，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，此時函數g（x）單調遞減，
此時g（x）＞g（0）=0，
作出函數g（x）和函數y=-

1

x

的圖象，（直線只代表單調性和取值范圍），
由圖象可知函數F（x）的零點個數為1個．
故選：B．

點評：本題主要考查方程根的個數的應用，利用方程和函數之間的關系，作出函數的圖象，利用數形結合是解決本題的關鍵．