Question

14．已知函數(shù)g（x）滿(mǎn)足g（x）=g′（1）e^x-1-g（0）x+$\frac{1}{2}{x}^{2}$，且存在實(shí)數(shù)x₀使得不等式2m-1≥g（x₀）成立，則m的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，3]
• C． [1，+∞）
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 分別求出g（0），g′（1），求出g（x）的表達(dá)式，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出g（x）的最小值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需2m-1≥g（x）_min=1即可，求出m的范圍即可．

解答 解：∵g（x）=g′（1）e^x-1-g（0）x+$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
∴g′（x）=g′（1）e^x-1-g（0）+x，
∴g′（1）=g′（1）-g（0）+1，解得：g（0）=1，
g（0）=g′（1）e^-1，解得：g′（1）=e，
∴g（x）=e^x-x+$\frac{1}{2}$x²，
∴g′（x）=e^x-1+x，g″（x）=e^x+1＞0，
∴g′（x）在R遞增，而g′（0）=0，
∴g′（x）＜0在（-∞，0）恒成立，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
∴g（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
∴g（x）_min=g（0）=1，
若存在實(shí)數(shù)x₀使得不等式2m-1≥g（x₀）成立，
只需2m-1≥g（x）_min=1即可，解得：m≥1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的表達(dá)式問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．