Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）且與直線x=-1相切，若該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）已知點(diǎn)A（5，0），傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l與線段OA相交（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O或點(diǎn)A）且與曲線E交于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積的最大值，及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的定義求得拋物線方程．
（2）直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組，構(gòu)造關(guān)于m的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值．

解答 解：（1）由題意得圓心到（1，0）的距離等于直線x=-1的距離，由拋物線的定義可知，圓心的軌跡方程為：y²=4x．
（2）由題意，可設(shè)l的方程為y=x-m，其中，0＜m＜5．
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x-m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}$，消去y，得x²-（2m+4）x+m²=0，①
當(dāng)0＜m＜5時(shí)，方程①的判別式△=（2m+4）²-4m²=16（1+m）＞0成立．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則；x₁+x₂=4+2m，x₁x₂=m²，
∴|MN|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[{x}_{1}-m-（{x}_{2}-m）]^{2}}$=$\sqrt{2（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=4$\sqrt{2+2m}$
又∵點(diǎn)A到直線l的距離為d=$\frac{5-m}{\sqrt{2}}$
∴S_△=2（5-m）$\sqrt{1+m}=2\sqrt{{m}^{3}-9{m}^{2}+15m+25}$
令f（m）=m³-9m²+15m+25，（0＜m＜5）
f'（m）=3m²-18m+15=3（m-1）（m-5），（0＜m＜5）
∴函數(shù)f（m）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，5）上單調(diào)遞減．
當(dāng)m=1時(shí)，f（m）有最大值32，
故當(dāng)直線l的方程為y=x-1時(shí)，△AMN的最大面積為8$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線定義的應(yīng)用以及直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬中檔題，在高考中屬于�？碱}型．