Question

11．如圖是在豎直平面內(nèi)的一個(gè)“通道游戲”．圖中豎直線段和斜線段都表示通道，并且在交點(diǎn)處相遇，若豎直線段有第一條的為第一層，有二條的為第二層，…，依此類(lèi)推．現(xiàn)有一顆小彈子從第一層的通道里向下運(yùn)動(dòng)．若在通道的分叉處，小彈子以相同的概率落入每個(gè)通道，記小彈子落入第n層第m個(gè)豎直通道（從左至右）的概率為P（n，m）．某研究性學(xué)習(xí)小組經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)小彈子落入第n層的第m個(gè)通道的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，請(qǐng)你解決下列問(wèn)題．
（Ⅰ）求P（2，1），P（3，2）及P（4，2）的值，并猜想P（n，m）的表達(dá)式．（不必證明）
（Ⅱ）設(shè)小彈子落入第6層第m個(gè)豎直通道得到分?jǐn)?shù)為ξ，其中ξ=$\left\{\begin{array}{l}{4-m，1≤m≤3}\\{m-3，4≤m≤6}\end{array}\right.$，試求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)小彈子以相同的概率落入每個(gè)通道，在每一個(gè)分叉處小球落入那一個(gè)通道的概率是相同的，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得到結(jié)果，推出具有一般性的結(jié)論．
（Ⅱ）根據(jù)題意知變量ξ的可能取值是3，2，1，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和前一問(wèn)做出的概率公式，寫(xiě)出變量對(duì)應(yīng)的概率和分布列，求出期望值．

解答 解：（I）根據(jù)已知小球每次遇到正方形障礙物上頂點(diǎn)時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是$\frac{1}{2}$，小球遇到第n行第m個(gè)障礙物（從左至右）上頂點(diǎn)的概率為P（n，m），可得
P（2，1）=$\frac{1}{2}$，P（3，2）=${C}_{2}^{1}•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，P（4，2）=${C}_{3}^{1}•（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{3}{8}$
猜想P（n，m）=${C}_{n-1}^{m-1}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$；                        …（6分）
（II）ξ的可能取值為3，2，1，…（7分）
P（ξ=3）=P（6，1）+P（6，6）=$\frac{1}{16}$，
P（ξ=2）=P（6，2）+P（6，5）=${C}_{5}^{1}•（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{5}{16}$，
P（ξ=1）=P（6，3）+P（6，4）=$\frac{5}{8}$
分布列為：

ξ	3	2	1
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{8}$

…（10分）
Eξ=3×$\frac{1}{16}$+2×$\frac{5}{16}$+1×$\frac{5}{8}$=$\frac{23}{16}$．                   …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率．