Question

17．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n²+n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）分類討論當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n，從而歸納可得；
（2）化簡b_n=$\frac{4}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，從而求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=1²+1=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
=n²+n-（（n-1）²+（n-1））=2n，
當(dāng)n=1時(shí)，也成立；
故a_n=2n；
（2）b_n=$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論及裂項(xiàng)和求和的應(yīng)用．