Question

5．如圖所示的幾何體P-ABCD中，底面ABCD是梯形，且AD∥BC，點(diǎn)E是邊AD上的一點(diǎn)，AE=BC=AB，AD=3BC，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，PB⊥AC．
（1）證明：PA=PC；
（2）證明：CF∥平面PBE．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AC，BE的交點(diǎn)為O，連結(jié)PO．通過(guò)證明AC⊥平面PBE得出AC⊥PO，從而得出△POA≌△POC，于是PA=PC．
（2）取PE的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，BM．利用中位線定理證明四邊形BCFM是平行四邊形，得出CF∥BM，從而得出CF∥平面PBE．

解答 證明：（1設(shè)AC，BE的交點(diǎn)為O，連結(jié)PO．
∵AD∥BC，AE=BC=AB，
∴四邊形ABCE是菱形，
∴AC⊥BE，OA=OC．
又AC⊥PB，BE，PB?平面PBE，PB∩BE=B，
∴AC⊥平面PAC，∵PO?平面PBE，
∴AC⊥PO，又OA=OC，
∴△POA≌△POC，
∴PA=PC．
（2）取PE的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，BM．
∵F，M分別是PD，PE的中點(diǎn)，
∴MF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE，
∵BC∥AD，AD=3BC，AE=BC，
∴BC$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE，
∴BC$\stackrel{∥}{=}FM$．
∴四邊形BCFM是平行四邊形，
∴CF∥BM，
又BM?平面PBE，CF?平面PBE，
∴CF∥平面PBE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．