分析 (1)取AC1的中點(diǎn)F,則四邊形BEFD為平行四邊形,從而BE∥DF,由此能證明BE∥平面ADC1.
(2)取點(diǎn)G為AC的中點(diǎn),直線DF即直線l,以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),OC為x軸,OA為y軸,過(guò)O垂直于平面ABC的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出點(diǎn)D是線段OC中點(diǎn)時(shí),使得直線l與平面ACC1所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$.
解答 證明:(1)取AC1的中點(diǎn)F,則EF∥B1C1∥BD,
且EF=$\frac{1}{2}$B1C1=BD,
∴四邊形BEFD為平行四邊形,∴BE∥DF,
又DE?平面ADC1,∴BE∥平面ADC1.
解:(2)取點(diǎn)G為AC的中點(diǎn),由(1)知直線DF即直線l,
GB⊥平面ACC1,即確定點(diǎn)D的位置,使得直線l與平面ACC1所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$,
如圖,以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),OC為x軸,OA為y軸,
過(guò)O垂直于平面ABC的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則C(1,0,0),C1(1,0,2),A(0,$\sqrt{3}$,0),
∵E和F關(guān)于平面yoz對(duì)稱,∴F($\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$,1),
∵BG⊥AC,BG⊥AC1,設(shè)D(a,0,0),
∴平面ACC1的法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{BG}$=($\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0$),$\overrightarrow{FD}$=(a-$\frac{1}{2}$,-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,-1),
∵直線l與平面ACC1所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$,
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FD}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{FD}|}$=$\frac{|\frac{3}{2}(a-\frac{1}{2})-\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}•\sqrt{(a-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$,
整理,得6a2-13a+5=0,解得a=$\frac{1}{2}$,或a=$\frac{5}{3}$,
∵D在邊BC上移動(dòng),∴a=$\frac{1}{2}$,
∴點(diǎn)D是線段OC中點(diǎn)時(shí),使得直線l與平面ACC1所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查滿足條件的點(diǎn)的位置的確定,是中要檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | 3 | B. | 2 | C. | 1 | D. | 0 |
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A. | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
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