10.如圖,正方形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),CE與以BC為直徑的半圓O交于點(diǎn)F,C
(Ⅰ)證明:DF與圓O相切
(Ⅱ)證明:△DCF∽△OBF.

分析 (Ⅰ)連接OD,通過(guò)證明:△FOD≌△COD,得到∠DFO=∠DCO=90°,即可證明DF與圓O相切;
(Ⅱ)通過(guò)證明:$\frac{DF}{OF}=\frac{DC}{OB}$,即可證明△DCF∽△OBF.

解答 (Ⅰ)證明:連接OD,
∵正方形ABCD中,E、O分別是AB、BC的中點(diǎn),
∴EB=OC,
∵BC=CD,∠EBC=∠OCD=90°,
∴△EBC≌△OCD,
∴∠BEC=∠COD,
∵BF⊥EC,
∴∠BEC=∠FBC,
∴∠FBC=∠COD,
∴BF∥OD,
∴∠BFO=∠FOD,
∴∠FPD=∠COD,
∵OF=OC,OD=OD,∴△FOD≌△COD,
∴∠DFO=∠DCO=90°,
∴DF與圓O相切;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得∠DFO=∠DCO=90°,
∴∠DFO+∠DCO=180°,
∴C,D,F(xiàn),O四點(diǎn)共圓,
∴∠BOF=∠CDF,
∵DF=DC,
∴$\frac{DF}{OF}=\frac{DC}{OB}$,
∴△DCF∽△OBF.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查三角形全等的證明,考查三角形相似的證明,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2.已知隨機(jī)變量ε的分布列如下表:
ε01234
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求其數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.

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