15.已知直線l:y=x+m,圓O:x2+y2-4=0,圓C:x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4).
(1)若a=3,圓O與圓C交于M,N兩點(diǎn),試求線段|MN|的長(zhǎng).
(2)直線 l與圓C相切,且直線l在圓C心的下方,當(dāng)0<a≤4時(shí),求m的取值范圍.

分析 (1)由方程x2+y2-4=0與x2+y2+6x-6y+6=0消去二次項(xiàng)得,3x-3y+5=0,再求得圓心O到直線3x-3y+5=0的距離,由圓弦長(zhǎng)、圓心距和圓的半徑之間關(guān)系得線段|MN|的長(zhǎng);
(2)由直線l與圓C相切,建立m與a的關(guān)系$\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{a}$,再由點(diǎn)C在直線l的上方,去掉絕對(duì)值,將m轉(zhuǎn)化為關(guān)于a二次函數(shù)求解.

解答 解:(1)當(dāng)a=3時(shí),C:x2+y2+6x-6y+6=0,由方程x2+y2-4=0與x2+y2+6x-6y+6=0消去二次項(xiàng)得,3x-3y+5=0,圓心O到直線3x-3y+5=0的距離為$d=\frac{{|{0-0+5}|}}{{\sqrt{9+9}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{6}$,∴$|{MN}|=2\sqrt{4-\frac{25}{18}}=\frac{{\sqrt{94}}}{3}$.
(2)∵x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0,∴(x+a)2+(y-a)2=4a,∴圓心C(-a,a),半徑$r=2\sqrt{a}$,
圓心C(-a,a)到直線l的距離為$d=\frac{{|{-a-a+m}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}$,
∵直線l與圓C2相切,∴d=r,即$\frac{{|{m-2a}|}}{{\sqrt{2}}}=2\sqrt{a}$,∴$m=2a±2\sqrt{2a}$,
∵直線l在圓心C的下方,∴$m=2a-2\sqrt{2a}={({\sqrt{2a}-1})^2}-1$,∵0<a≤4,
∴$m∈[{-1,8-4\sqrt{2}}]$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及其方程的應(yīng)用,主要涉及了直線與圓相交,由圓心距,半徑和圓的弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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5.如圖,幾何體ABC-C1B1的底面ABC為等邊三角形,側(cè)面BB1C1C為矩形,B1B⊥平面ABC,E為邊AB1的中點(diǎn),D在邊BC上移動(dòng).
(1)若D為邊BC的中點(diǎn),求證:BE∥平面ADC1;
(2)若AB=BB1=2,記l為平面BEC與平面ADC1的交線,試確定點(diǎn)D的位置,使得直線l與平面ACC1所成的角θ滿足sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{14}$.

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6.已知數(shù)列{an}滿足下列公式,寫出它們的前5項(xiàng):
(1)an=(-1)n(n2+1),
(2)a1=1,an=1+$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}$(n>1).

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3.在正四棱錐P-ABCD中,O為正方形ABCD的中心,$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{EO}$(2≤λ≤4),且平面ABE與直線PD交于F,$\overrightarrow{PF}$=f(λ)$\overrightarrow{PD}$,則(  )
A.f(λ)=$\frac{λ}{λ+2}$B.f(λ)=$\frac{2λ}{λ+6}$C.f(λ)=$\frac{3λ}{λ+7}$D.f(λ)=$\frac{4λ}{λ+9}$

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10.某公司為確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年利潤(rùn)y(單位:萬元)的影響,對(duì)近5年的宣傳費(fèi)xi和年利潤(rùn)yi(i=1,2,3,4,5)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),列出了下表:
x(單位:千元)2471730
y(單位:萬元)12345
員工小王和小李分別提供了不同的方案.
(1)小王準(zhǔn)備用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請(qǐng)你建立y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(2)小李決定選擇對(duì)數(shù)回歸模擬擬合y與x的關(guān)系,得到了回歸方程:$\widehat{y}$=1.450lnx+0.024,并提供了相關(guān)指數(shù)R2=0.995,請(qǐng)用相關(guān)指數(shù)說明選擇哪個(gè)模型更合適,并預(yù)測(cè)年宣傳費(fèi)為4萬元的年利潤(rùn)(精確到0.01)(小王也提供了他的分析數(shù)據(jù)$\sum_{i=1}^{5}$(yi-$\widehat{y}$i2=1.15)
參考公式:相關(guān)指數(shù)R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-{\widehat{y}}_{i})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}({y}_{i}-\overline{y})^{2}}$
回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為$\widehat$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{({x_i}-\overline x)({y_i}-\overline y)}}}{{\sum_{i=1}^n{{{({x_i}-\overline x)}^2}}}}$,$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat$x,參考數(shù)據(jù):ln40=3.688,${\sum_{i=1}^5{({x_i}-\overline x)}^2}$=538.

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20.如圖所示,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,∠BAD=$\frac{π}{3}$,AC∩BD=O.將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起,得到三棱錐B′-ACD,M為B′C的中點(diǎn),DM=2$\sqrt{2}$.
(1)求證:OM∥平面AB′D;
(2)求三棱錐B′-DOM的體積.

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7.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+3.
(1)若f(1)=2,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)當(dāng)x∈R時(shí),f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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4.已知函數(shù)$f(x)=sin({2x+\frac{π}{3}})$.
(1)若$x∈({-\frac{π}{6},0}]$,求$4f(x)+\frac{1}{f(x)}$的最小值,并確定此時(shí)x的值;
(2)若$a∈({-\frac{π}{2},0}),f({\frac{a}{2}+\frac{π}{3}})=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$,求f(a)的值.

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5.設(shè)集合U={x|x2-3x+2=0,x∈R},則集合U的子集的個(gè)數(shù)是4.

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