【題目】已知橢圓右焦點(diǎn),離心率為,過作兩條互相垂直的弦,設(shè)中點(diǎn)分別為.
(1)求橢圓的方程;
(2) 證明:直線必過定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo);
(3) 若弦的斜率均存在,求面積的最大值.
【答案】(1);(2)直線MN過定點(diǎn);(3)S△FMN的最大值為.
【解析】分析:(1)根據(jù)題意確定出c與e的值,利用離心率公式求出a的值,進(jìn)而求出b的值,確定出橢圓方程即可;
(2)由直線AB與CD斜率均存在,設(shè)為k,表示出AB方程,設(shè)出A與B坐標(biāo),聯(lián)立直線AB與橢圓方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出M,同理表示出N,根據(jù)M與N橫坐標(biāo)相同求出k的值,得到此時(shí)MN斜率不存在,直線MN恒過定點(diǎn);若直線MN斜率存在,表示出直線MN斜率,進(jìn)而表示出直線MN,令y=0,求出x的值,得到直線MN恒過定點(diǎn),綜上,得到直線MN恒過定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo)即可;
(3)根據(jù)P坐標(biāo),得到OP的長,由OF﹣OP表示出PF長,S△FMN=S△FPM+S△FPN,利用基本不等式求出面積的最大值即可.
詳解:(1) (1)由題意:c=1, =,
∴a=,b=c=1,
則橢圓的方程為+y2=1;
(2) ∵AB,CD斜率均存在,
∴設(shè)直線AB方程為:y=k(x﹣1),
再設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有M(,k(﹣1)),
聯(lián)立得: ,
消去y得:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,
∴,即M(, ),
將上式中的k換成﹣,同理可得:N(, ),
若=,解得:k=±1,直線MN斜率不存在,
此時(shí)直線MN過點(diǎn)(,0);
下證動直線MN過定點(diǎn)P(,0),
若直線MN斜率存在,則kMN===×,
直線MN為y﹣=×(x﹣),
令y=0,得x=+×=×=,
綜上,直線MN過定點(diǎn)(,0);
(3) 由第(2)問可知直線MN過定點(diǎn)P(,0),
故S△FMN=S△FPM+S△FPN=×||+×|=×,
令t=|k|+∈[2,+∞),S△FMN=f(t)=×=×,
∴f(t)在t∈[2,+∞)單調(diào)遞減,
當(dāng)t=2時(shí),f(t)取得最大值,即S△FMN最大值,此時(shí)k=±1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于兩條平行直線、(在下方)和圖象有如下操作:將圖象在直線下方的部分沿直線翻折,其余部分保持不變,得到圖象;將圖象在直線上方的部分沿直線翻折,其余部分保持不變,得到圖象:再將圖在直線下方的部分沿直線翻折,其余部分保持不變,得到圖象;再將圖象在直線上方的部分沿直線翻折,其余部分保持不變,得到圖象;以此類推…;直到圖象上所有點(diǎn)均在、之間(含、上)操作停止,此時(shí)稱圖象為圖象關(guān)于直線、的“衍生圖形”,線段關(guān)于直線、的“衍生圖形”為折線段.
(1)直線型
平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線,直線
①令圖象為的函數(shù)圖象,則圖象的解析式為
②令圖像為的函數(shù)圖象,請你畫出和的圖象
③若函數(shù)的圖象與圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)在軸的左側(cè),那么的取值范圍是_______.
④請你觀察圖象并描述其單調(diào)性,直接寫出結(jié)果_______.
⑤請你觀察圖象并判斷其奇偶性,直接寫出結(jié)果_______.
⑥圖象所對應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)為_______.
⑦任取圖象中橫坐標(biāo)的點(diǎn),那么在這個(gè)變化范圍中所能取到的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(_______,_______),最低點(diǎn)坐標(biāo)為(_______,_______).
⑧若直線與圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn),則的取值范圍是_______.
⑨根據(jù)函數(shù)圖象,請你寫出圖象的解析式_______.
(2)曲線型
若圖象為函數(shù)的圖象,
平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線,直線,
則我們可以很容易得到所對應(yīng)的解析式為.
①請畫出的圖象,記所對應(yīng)的函數(shù)解析式為.
②函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_______,單調(diào)減區(qū)間為_______.
③當(dāng)時(shí)候,函數(shù)的最大值為_______,最小值為_______.
④若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍為_______.
(3)封閉圖形型
平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線,直線
設(shè)圖象為四邊形,其頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,,,四邊形關(guān)于直線、的“衍生圖形”為.
①的周長為_______.
②若直線平分的周長,則_______.
③將沿右上方方向平移個(gè)單位,則平移過程中所掃過的面積為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象,給出下列命題:
①-2是函數(shù)的極值點(diǎn);
②1是函數(shù)的極值點(diǎn);
③的圖象在處切線的斜率小于零;
④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
則正確命題的序號是( )
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù),x∈R.
(I)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)).
(1)以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求橢圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)M(x,y)為橢圓C上任意一點(diǎn),求x+2y的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在下列命題中,正確命題的個(gè)數(shù)為( 。
①兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小;
②,若,則;
③若是純虛數(shù),則實(shí)數(shù);
④是虛數(shù)的一個(gè)充要條件是;
⑤若是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù),則是純虛數(shù);
⑥的一個(gè)充要條件是.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,.
(1)若,求的解析式;
(2)若,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若的值域?yàn)?/span>,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo),是以中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)而設(shè)計(jì)的,弦圖用四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形如圖,若大、小正方形的面積分別為25和1,直角三角形中較大銳角為,則等于
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)h(x)=lnx+ .
(1)函數(shù)g(x)=h(2x+m),若x=1是g(x)的極值點(diǎn),求m的值并討論g(x)的單調(diào)性;
(2)函數(shù)φ(x)=h(x)﹣ +ax2﹣2x有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),其極小值為M,試比較2M與﹣3的大小關(guān)系,并說明理由.
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