Question

9．拋物線y²=2x分圓盤x²+y²≤8為兩部分，這兩部分面積的比是$\frac{3π+2}{9π-2}$．

Answer 1

分析 利用定積分求出在拋物線右方的圓盤的面積；然后，圓盤總面積減去右方的面積，得到下面部分的面積，從而得到答案．

解答 解：設(shè)拋物線右方的圓盤的面積為s₁，拋物線左方的圓盤的面積為s₂，則
由于y²=2x與x²+y²=8的交點(diǎn)為：（2，±2）
∴S₁=${∫}_{-2}^{2}[\sqrt{8-{y}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{2}]dy$=2（${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{8-{y}^{2}}$dy-${∫}_{0}^{2}$$\frac{{y}^{2}}{2}$dy）=2（π+$\frac{2}{3}$）
∴S₂=8π-S₁=6π-$\frac{4}{3}$s2，
∴兩部分面積的比是$\frac{3π+2}{9π-2}$．
故答案為：$\frac{3π+2}{9π-2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查定積分求面積，找準(zhǔn)積分區(qū)間和被積函數(shù)，利用定積分的性質(zhì)，就能較快解決．