Question

17．在等差數(shù)列{log₃a_n}中，已知log₃a₂+log₃a₄+log₃a₆=6，a₁a₃a₅=27．求：
（1）等差數(shù)列{log₃a_n}的公差；
（2）a₁+a₂．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列{log₃a_n}的性質(zhì)，利用作差法即可求出公差；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)求出數(shù)列{a_n}是公比q=3的等比數(shù)列，即可求a₁+a₂．

解答 解：（1）∵a₁a₃a₅=27，
∴og₃a₁a₃a₅=log₃a₁+log₃a₃+log₃a₅=log₃27=3，①
∵log₃a₂+log₃a₄+log₃a₆=6，②
∴設(shè)等差數(shù)列{log₃a_n}的公差為d，
則②-①得3d=6-3=3，即d=1，
故等差數(shù)列{log₃a_n}的公差d=1；
（2）∵等差數(shù)列{log₃a_n}的公差d=1，
∴l(xiāng)og₃a_n-log₃a_n-1=1，
即log₃$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3，
故數(shù)列{a_n}是公比q=3的等比數(shù)列，
由a₁a₃a₅=27得${{a}_{3}}^{3}=27$，即a₃=3，
則a₁q²=a₃，
即9a₁=3，則a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=qa₁=3×$\frac{1}{3}$=1，
則a₁+a₂=$\frac{1}{3}$+1=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．