Question

（1）用數(shù)學歸納法證明等式1+2+3+…+（n+3）=

(n+3)(n+4)

2

（n∈N^*）；
（2）用數(shù)學歸納法證明不等式1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

（n∈N^*）

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）首先證明當n=10等式成立，再假設n=k時等式成立，得到等式1+2+3+…+（k+3）=

(k+3)(k+4)

2

，下面證明當n=k+1時等式成立，根據(jù)前面的假設化簡即可得到結(jié)果，最后得到結(jié)論．
（2）直接利用數(shù)學歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗證n=2時不等式成立；（2）假設當n=k（k≥2）時成立，利用放縮法證明n=k+1時，不等式也成立．

解答： 證明：（1）①當n=1時，左邊=1+2+3+4=10，右邊=

(1+3)(1+4)

2

=10
左邊=右邊．
②假設n=k時等式成立，即1+2+3+…+（k+3）=

(k+3)(k+4)

2

，
那么n=k+1時，等式左邊=1+2+3+…+（k+3）+（k+4）=

(k+3)(k+4)

2

+（k+4）=

(k+4)(k+5)

2

．等式成立．
綜上①②可知1+2+3+…+（n+3）=

(n+3)(n+4)

2

對于任意的正整數(shù)成立．
（2）證明：①當n=1時，左邊=1，右邊=2，∴n=1不等式成立．
②假設當n=k（k≥2）時成立，即
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＜2

k

，
那么當n=k+1時，左邊=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＜2

k

+

1

k+1

=
∵4k²+4k＜4k²+4k+1，可得2

k2+k

＜2k+1，即：2

k

+

1

k+1

＜2

k+1

，
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＜2

k+1

．
這就是說n=k+1時不等式也成立．
綜上①②可知不等式對所有的n∈N^*都成立．

點評：本題考查用數(shù)學歸納法證明等式成立，用數(shù)學歸納法證明問題的步驟是：第一步驗證當n=n₀時命題成立，第二步假設當n=k時命題成立，那么再證明當n=k+1時命題也成立．本題解題的關(guān)鍵是利用第二步假設中結(jié)論證明當n=k+1時成立，本題是一個中檔題目．