Question

10．設(shè)定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=axlnx-b（x²-1），其中a＞0，b∈R．．
（1）若a=1，b=0，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若不等式f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，求$\frac{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）令m=$\frac{a}$，得到F（x）=xlnx-m（x²-1），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為F（x）=xlnx-m（x²-1）≤0在[1，+∞）恒成立，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出$\frac{a}$的范圍即可．

解答 解：（1）若a=1，b=0，則f（x）=xlnx，
故f′（x）=lnx+1，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
故f（x）_極小值=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，無(wú)極大值；
（2）令m=$\frac{a}$，F(xiàn)（x）=xlnx-m（x²-1），
由題意得：F（x）=xlnx-m（x²-1）≤0在[1，+∞）恒成立，
則F′（x）=lnx+1-2mx，x∈[1，+∞），
1°m≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在[1，+∞）遞增，
故F（x）≥F（1）=0，不符，舍去，
2°m＞0時(shí)，令H（x）=F′（x），則H′（x）=$\frac{1}{x}$-2m，
由H′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2m}$，
①$\frac{1}{2m}$≤1即m≥$\frac{1}{2}$時(shí)，H′（x）≤0，H（x）在[1，+∞）遞減，
故H（x）≤H（1）=1-2m≤0，即F′（x）≤0，
故F（x）在[1，+∞）遞減，
故F（x）≤F（1）=0，符合，
②$\frac{1}{2m}$＞1即0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，
則x∈[1，$\frac{1}{2m}$）時(shí)，H′（x）＞0，H（x）在[1，$\frac{1}{2m}$）遞增，
故H（x）≥H（1）=1-2m＞0，即F′（x）＞0，
結(jié)合1°，舍去，
綜上，m≥$\frac{1}{2}$，
故$\frac{a}$的范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．