Question

【題目】已知橢圓的右焦點為,過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點,線段的中點為為坐標原點.

（1）證明:點在軸的右側;

（2）設線段的垂直平分線與軸、軸分別相交于點.若與的面積相等,求直線的斜率

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）設出直線的方程，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系求出點的橫坐標即可證出；

（2）根據線段的垂直平分線求出點的坐標，即可求出的面積，再表示出的面積，由與的面積相等列式，即可解出直線的斜率．

（1）由題意，得，直線（）

設，，

聯立消去，得，

顯然，，

則點的橫坐標，

因為，

所以點在軸的右側．

（2）由（1）得點的縱坐標．

即．

所以線段的垂直平分線方程為：．

令，得；令，得．

所以的面積，

的面積．

因為與的面積相等，

所以，解得．

所以當與的面積相等時，直線的斜率．