Question

16．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，則異面直線BD₁與AD所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$，該正方體的外接球半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，內(nèi)切球的體積是$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 利用平移法得出∠CBD₁（或其補(bǔ)角）為異面直線BD₁與AD所成角，進(jìn)而可求異面直線BD₁與AD所成角的余弦值；求出正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，可得正方體的外接球半徑；利用體積公式求內(nèi)切球的體積．

解答 解：∵BC∥B₁C₁，
∴∠CBD₁（或其補(bǔ)角）為異面直線BD₁與AD所成角
∵BC=a，BD₁=$\sqrt{3}$a，BC⊥CD₁，
∴cos∠CBD₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，∴該正方體的外接球半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
內(nèi)切球的體積是$\frac{4}{3}π×（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．