Question

6．已知點(diǎn)A（2，0），B（0，4），點(diǎn)P是過(guò)點(diǎn)M（0，-1）的直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)，∠APB是銳角，求l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 如圖所示，以AB為直徑畫(huà)圓Q（1，2），半徑R=$\frac{1}{2}|AB|$．由于點(diǎn)P是過(guò)點(diǎn)M（0，-1）的直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)，∠APB是銳角，可得直線(xiàn)l與⊙Q相離，設(shè)直線(xiàn)l：y=kx-1，則圓心Q到直線(xiàn)l的距離d＞R，解出即可．

解答 解：如圖所示，
以AB為直徑畫(huà)圓Q（1，2），半徑R=$\frac{1}{2}|AB|$=$\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵點(diǎn)P是過(guò)點(diǎn)M（0，-1）的直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)，∠APB是銳角，
∴直線(xiàn)l與⊙Q相離，
設(shè)直線(xiàn)l：y=kx-1，
則圓心Q到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{|k-2-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＞$\sqrt{5}$，
化為2k²+3k-2＜0，
解得$-2＜k＜\frac{1}{2}$．
∴l(xiāng)的斜率的取值范圍是$（-2，\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．