Question

10．PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物）．為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時間段車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如表：

時間	周一	周二	周三	周四	周五
車流量x（萬輛）	50	51	54	57	58
PM2.5的濃度y（微克/立方米）	69	70	74	78	79

（1）根據(jù)表數(shù)據(jù)，請在下列坐標系中畫出散點圖；
（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（3）若周六同一時間段車流量是25萬輛，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程預測，此時PM2.5的濃度為多少（保留整數(shù)）？

Answer 1

分析 （1）利用描點法可得數(shù)據(jù)的散點圖；
（2）根據(jù)公式求出b，a，可寫出線性回歸方程；
（3）根據(jù)（2）的性回歸方程，代入x=25求出PM2.5的濃度．

解答 解：（1）散點圖如圖所示．…（2分）
（2）∵$\overline x=\frac{50+51+54+57+58}{5}=54$，$\overline y=\frac{69+70+74+78+79}{5}=74$，…（6分）$\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\overline x}）（{y_i}-\overline y）=4×5+3×4+3×4+4×5=64$，$\sum_{i=1}^5{（{x_i}}-\overline x{）^2}={（-4）^2}+{（-3）^2}+{3^2}+{4^2}=50$，$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^5{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{64}{50}=1.28$，$\widehata=\overline y-b\overline x=74-1.28×54=4.88$，…（9分）
故y關于x的線性回歸方程是：$\hat y=1.28x+4.88$．…（10分）
（3）當x=25時，y=1.28×25+4.88=36.88≈37所以可以預測此時PM2.5的濃度約為37．…（12分）

點評 本題主要考查了線性回歸分析的方法，包括散點圖，用最小二乘法求參數(shù)，以及用回歸方程進行預測等知識，考查了考生數(shù)據(jù)處理和運算能力．