Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}中a₃=7，其前n項和S_n=pn²+2n，n∈N^*．
（Ⅰ）求p的值及a_n；
（Ⅱ）在等比數(shù)列{b_n}中，b₃=a₁，b₆=4a₁₀-3，若等比數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n．求證：數(shù)列{T_n+$\frac{1}{6}$}為等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：a₃=S₃-S₂=5p+2=7，可得p，求出公差，即可求出a_n；
（Ⅱ）確定數(shù)列{b_n}是以${b_1}=\frac{1}{3}$為首項，3為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n，即可證明結(jié)論．

解答 解：（I）由題意可得：a₃=S₃-S₂=5p+2=7，∴p=1，
∴a₁=S₁=3----------------------（3分）
∴2d=a₃-a₁=4，∴公差d=2----------------------（5分）
由此可得：a_n=2n+1----------------------（6分）
（Ⅱ）由題意可得：${b_3}={b_1}{q^2}={a_1}=3，{b_6}={b_1}{q^5}=4{a_{10}}-3=81$
聯(lián)立方程組解得：q=3，${b_1}=\frac{1}{3}$--------------------（8分）
∴數(shù)列{b_n}是以${b_1}=\frac{1}{3}$為首項，3為公比的等比數(shù)列．
∴${T_n}=\frac{{\frac{1}{3}（1-{3^n}）}}{1-3}=\frac{1}{6}（{3^n}-1）$
∴${T_n}+\frac{1}{6}=\frac{1}{6}•{3^n}=\frac{1}{2}•{3^{n-1}}$------------------（10分）
又∵${T_1}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$，$\frac{{{T_n}+\frac{1}{6}}}{{{T_{n-1}}+\frac{1}{6}}}=3$，
∴$\left\{{{T_n}+\frac{1}{6}}\right\}$是以$\frac{1}{2}$為首項，3為公比的等比數(shù)列．----------------（12分）

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．