Question

5．已知函數g（x）=$\frac{1}{6}$x³+$\frac{a+1}{2}$x²+mx+2的導函數g′（x）的圖象經過點（0，1），且f（x）=g′（x）+alnx．
（1）求m的值；
（2）當a=-1時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）若函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求解g′（x）=$\frac{1}{2}$x²+（a+1）x+m，利用二次函數求解得出m的值，
（2）根據題意得出f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x+1+lnx．′f（x）=x+2$+\frac{1}{x}$，x＞0，配方得出f′（x）=$\frac{（x+1）^{2}}{x}$，x＞0，利用導數與單調性的關系判斷即可．
（3）得出f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（a+1）x+1+alnx，′f（x）=x+（a+1）$+\frac{1}{x}$，x＞0，分類討論，利用基本不等式求解得出，即可得出答案．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{1}{6}$x³+$\frac{a+1}{2}$x²+mx+2，
g′（x）=$\frac{1}{2}$x²+（a+1）x+m，
∵g′（x）的圖象經過點（0，1），
∴g′（0）=1，
即m=1，
（2）當a=-1時，f（x）=g′（x）+alnx．
g（x）=$\frac{1}{6}$x³+x+2的
g′（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+1，
f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+1-lnx．
∴f′（x）=x-$\frac{1}{x}$，x＞0，
∵f′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，x＞0，
當x＞1時，f′（x）＞0，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，
當x=1時，f′（x）=0，
∴f（x）在（1，+∞）單調遞增．
f（x）在（0，1）單調遞減．
（3）f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（a+1）x+1+alnx，
∴′f（x）=x+（a+1）+$\frac{a}{x}$，x＞0，
∵函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，
∴x$+\frac{a}{x}$+（a+1）≥0，
i）當a=0時，在（0，+∞）上有x+1＞0，恒成立，
ii）當a＞0時
∵x$+\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$，
∴2$\sqrt{a}$+a+1≥0，
即（$\sqrt{a}$+1）²＞0，x$+\frac{a}{x}$+（a+1）≥0在（0，+∞）上顯然成立，
iii）∵當a＜0時，y=x+$\frac{a}{x}$在（0，+∞）上是增函數，
∴x$+\frac{a}{x}$+（a+1）≥0，在（0，+∞）上不可能恒成立
實數a的取值范圍：[0，+∞）

點評 本題綜合考察了函數的性質，導數在求解單調性中的應用，構造函數，轉化為基本不等式求解，綜合性強，屬于導數與函數結合的常見的題目．