Question

4．已知函數(shù)f（x）=2|x-1|-a，g（x）=-|2x+m|，a，m∈R，若關(guān)于x的不等式g（x）≥-1的整數(shù)解有且僅有一個值為-2．
（1）求整數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象恒在函數(shù)y=$\frac{1}{2}$g（x）的上方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得|2x+m|≤1，即$\frac{-1-m}{2}$≤x≤$\frac{1-m}{2}$，可得$\frac{-1-m}{2}$≤-2≤$\frac{1-m}{2}$，解不等式即可得到所求整數(shù)m的值；
（2）由題意可得2|x-1|-a＞-|x+2|，即為a＜2|x-1|+|x+2|的最小值，由絕對值的含義和一次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值，進而得到a的范圍．

解答 解：（1）g（x）≥-1即為|2x+m|≤1，即$\frac{-1-m}{2}$≤x≤$\frac{1-m}{2}$，
關(guān)于x的不等式g（x）≥-1的整數(shù)解為-2，可得$\frac{-1-m}{2}$≤-2≤$\frac{1-m}{2}$，
即有3≤m≤5，
不等式g（x）≥-1的整數(shù)解有且僅有一值為-2，可得整數(shù)m=4；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象恒在函數(shù)y=$\frac{1}{2}$g（x）的上方，
即有2|x-1|-a＞-|x+2|，
即為a＜2|x-1|+|x+2|的最小值，
由y=2|x-1|+|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x≤-3}\\{4-x，-3＜x≤1}\\{3x，x＞1}\end{array}\right.$，
函數(shù)在（-∞，1）是減函數(shù)，（1，+∞）是增函數(shù)，
∴可得x=1時，取得最小值3，
∴a的范圍是（-∞，3）．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和絕對值的含義，以及一次函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．