Question

17．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），P為雙曲線上任一點，若雙曲線的離心率的取值范圍為[$\sqrt{2}$，2]，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$最小值的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]
• B． [-$\frac{3}{4}$，-$\frac{1}{2}$]
• C． [-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 確定$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$最小值是a²-1，利用雙曲線的離心率的取值范圍為[$\sqrt{2}$，2]，求出a的范圍，即可求出$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$最小值的取值范圍

解答 解：設P（x，y），則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-1-x，-y）•（1-x，-y）=x²-1+y²=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$x²-b²-1=$\frac{1}{{a}^{2}}$x²+a²-2≥a²-1，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$最小值是a²-1．
∵雙曲線的離心率的取值范圍為[$\sqrt{2}$，2]，
∴$\sqrt{2}$≤$\frac{1}{a}$≤2，
∴$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴-$\frac{3}{4}$≤a²-1≤-$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．