Question

給出下列命題（1）存在實數(shù)α，使得sinα•cosα=1；
（2）存在實數(shù)α，使得sinα+cosα=

3

2

；
（3）x=

π

8

是函數(shù)y=sin（2x+

5π

4

）的一條對稱軸；
（4）α，β是第一象限角，若α＜β，則sinα＜sinβ；
（5）若α，β∈（

π

2

，π），且tanα＜cotβ，則α+β＜

3π

2

．
以上命題正確的是

 

．

Answer 1

考點：二倍角的正弦,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：分別對四個命題分析，利用三角函數(shù)的有界性以及單調(diào)性解答．

解答： 解：對于①，sinα•cosα=1變形為sin2α=2＞1錯誤；
對于②，sinα+cosα=

3

2

，變形為sin（α+

π

4

）=

3 2

4

＜1，所以存在實數(shù)α，使其成立；正確；
對于③，將x=

π

8

代入函數(shù)解析式得y=sin （2×

π

8

+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，所以正確；
對于（4），例如α=

π

6

，β=

13

6

π，都是第一象限的角，但是sinα=sinβ，所以錯誤；
對于（5），：∵α、β∈（

π

2

，π），
∴-π＜-β＜-

π

2

，

π

2

＜

3π

2

-β＜π，
又cotβ=tan（

π

2

-β）=tan（

3π

2

-β），tanα＜cotβ，
∴tanα＜tan（

3π

2

-β），α、

3π

2

-β∈（

π

2

，π），又y=tanx在（

π

2

，π）上單調(diào)遞增，
∴α＜

3π

2

-β，即α+β＜

3π

2

．所以正確；
故答案為：（3）（5）．

點評：本題考查利用倍角公式、誘導(dǎo)公式等對三角函數(shù)變形，考查三角函數(shù)單調(diào)性以及有界性等性質(zhì)．