Question

13．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的圓O交AC于點E，點D是BC邊的中點，連接OD交圓O于點M．
（Ⅰ）求證：DE是圓O的切線；
（Ⅱ）求證：DE•BC=DM•AC+DM•AB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，從而△AEB∽△ABC，進(jìn)而∠ABE=∠C，進(jìn)而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能證明DE是圓O的切線．
（Ⅱ）DM=OD-OM=$\frac{1}{2}$（AC-AB），從而DM•AC+DM•AB=$\frac{1}{2}$（AC-AB）•（AC+AB）=$\frac{1}{2}$BC²，由此能證明DE•BC=DM•AC+DM•AB．

解答 證明：（Ⅰ）連接BE，OE，
∵AB是直徑，∴∠AEB=90°，
∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，
∴∠ABE=∠C，
∵BE⊥AC，D為BC的中點，∴DE=BD=DC，
∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，
∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是圓O的切線．
（Ⅱ）證明：∵O、D分別為AB、BC的中點，
∴DM=OD-OM=$\frac{1}{2}$（AC-AB），
∴DM•AC+DM•AB
=DM•（AC+AB）
=$\frac{1}{2}$（AC-AB）•（AC+AB）
=$\frac{1}{2}$（AC²-AB²）
=$\frac{1}{2}$BC²
=DE•BC．
∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．

點評 本題考查DE是圓O的切線的證明，考查DE•BC=DM•AC+DM•AB的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意弦切角定理的合理運用．