Question

6．在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心在點(diǎn)C（2，0）且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O，點(diǎn)P（6，0）．
（1）寫出圓C的極坐標(biāo)方程，過(guò)極點(diǎn)O作兩條射線交圓C于A、B兩點(diǎn)，A、B的極角分別為$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$，求|OA|+|OB|的值；
（2）設(shè)直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸與極軸重合，過(guò)點(diǎn)P作傾斜角為α（α為銳角）的直線l交圓C于M、N兩點(diǎn)，若|PM|+|PN|=7，求cosα的值及M、N的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由圓C的圓心在點(diǎn)C（2，0）且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O，設(shè)Q（ρ，θ）為此圓上的任意一點(diǎn)，利用直角三角形的邊角關(guān)系可得：極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ．由A、B的極角分別為$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$，代入即可得出|OA|，|OB|．
（2）由圓的極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ．化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4x，設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=6+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入圓的方程可得：t²+8tcosα+12=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入：|PM|+|PN|=|t₁+t₂|=7，解得cosα．可得sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$．代入可得t²+7t+12=0，即可得出M，N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵圓C的圓心在點(diǎn)C（2，0）且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O，
∴設(shè)Q（ρ，θ）為此圓上的任意一點(diǎn)，
∴極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ．
∵A、B的極角分別為$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$，
∴|OA|=$4cos\frac{π}{3}$=2，|OB|=4$cos\frac{π}{4}$=2$\sqrt{2}$．
∴|OA|+|OB|=2+2$\sqrt{2}$；
（2）由圓的極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ．
化為ρ²=4ρcosθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4x，
設(shè)直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=6+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入圓的方程可得：t²+8tcosα+12=0，（*）
∴t₁+t₂=-8cosα，
∵|PM|+|PN|=7，
∴|PM|+|PN|=|t₁+t₂|=8cosα=7，
解得cosα=$\frac{7}{8}$．
∵α為銳角，∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
代入（*）可得t²+7t+12=0，
解得t₁=-3，t₂=-4．
∴M$（6-3×\frac{7}{8}，-3×\frac{\sqrt{15}}{8}）$，N$（6-4×\frac{7}{8}，-4×\frac{\sqrt{15}}{8}）$，
化為M$（\frac{27}{8}，-\frac{3\sqrt{′15}}{8}）$，N$（\frac{5}{2}，-\frac{\sqrt{15}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．