17.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+b(lnx-x),已知曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x-y+1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).

分析 (1)求導(dǎo)數(shù),利用曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x-y+1=0垂直,得到f′(1)=2a=-1,即可求a的值;
(2)求導(dǎo)數(shù),分類討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).

解答 解:(1)因?yàn)閒(x)=ax2+b(lnx-x),
所以f′(x)=2ax+$\frac{x}$-b,
因?yàn)榍y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x-y+1=0垂直,
所以f′(1)=2a=-1,
所以a=-$\frac{1}{2}$.
(2)f(x)=-$\frac{1}{2}$x2+b(lnx-x),其定義域?yàn)椋?,+∞),
f′(x)=$\frac{-{x}^{2}-bx+b}{x}$,
令h(x)=-x2-bx+b,x∈(0,+∞),△=b2+4b,
①當(dāng)-4≤b≤0時(shí),有h(x)≤0,即f′(x)≤0,所以在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,
故在區(qū)間(0,+∞)無(wú)極值點(diǎn).
②當(dāng)b<-4時(shí),△>0,令h(x)=0,有x1=-$\frac{2}$-$\frac{\sqrt{^{2}+4b}}{2}$,x2=-$\frac{2}$+$\frac{\sqrt{^{2}+4b}}{2}$,x2>x1>0,
當(dāng)x∈(0,x1)時(shí),即f′(x)<0,得f(x)在(0,x1)上遞減;
當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),h(x)>0,即f′(x)>0,得f(x)在(x1,x2_上遞增;
當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),h(x)<0,即f′(x)<0,得f(x)在(x2,+∞)上遞減,
此時(shí)f(x)有一個(gè)極小值點(diǎn)-$\frac{2}$-$\frac{\sqrt{^{2}+4b}}{2}$和一個(gè)極大值點(diǎn).
③當(dāng)b>0時(shí),△>0,令h(x)=0,有,
當(dāng)x∈(0,x2)時(shí),h(x)<0,即f′(x)<0,得f(x)在上遞增;
當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),h(x)<0,即f′(x)<0,得f(x)在x∈(x2,+∞)上遞減,
此時(shí)有唯一的極大值點(diǎn)-$\frac{2}$+$\frac{\sqrt{^{2}+4b}}{2}$.
綜上可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)有一個(gè)極小值點(diǎn)-$\frac{2}$-$\frac{\sqrt{^{2}+4b}}{2}$和一個(gè)極大值點(diǎn)-$\frac{2}$+$\frac{\sqrt{^{2}+4b}}{2}$;
當(dāng)-4≤b≤0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)無(wú)極值點(diǎn);
當(dāng)b>0時(shí),函數(shù)有唯一的極大值點(diǎn)-$\frac{2}$+$\frac{\sqrt{^{2}+4b}}{2}$,無(wú)極小值點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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其中正確結(jié)論的序號(hào)是①④.(填上你認(rèn)為所有正確的結(jié)論序號(hào))

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