Question

7．如圖，F(xiàn)是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，|OF|=$\sqrt{5}$，過(guò)F作OF的垂線交橢圓于P₀，Q₀兩點(diǎn)，△OP₀Q₀的面積為$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)M（-$\sqrt{5}$，0）的直線l與上、下半橢圓分別交于點(diǎn)P，Q，且|PM|=2|MQ|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=$\sqrt{5}$，再由弦長(zhǎng)$\frac{2^{2}}{a}$，運(yùn)用直角三角形的面積公式，解方程可得a=3，b=2，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)M（-$\sqrt{5}$，0）的直線l：x=my-$\sqrt{5}$，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由|PM|=2|MQ|，可得$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{MQ}$，運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，解方程可得直線方程．

解答 解：（1）由題意可得c=$\sqrt{5}$，
將x=c代入橢圓方程可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有△OP₀Q₀的面積為$\frac{1}{2}$|PQ|•c=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
即$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{4}{3}$，且a²-b²=5，
解得a=3，b=2，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)M（-$\sqrt{5}$，0）的直線l：x=my-$\sqrt{5}$，代入橢圓方程，
可得（4m²+9）y²-8$\sqrt{5}$my-16=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
y₁+y₂=$\frac{8\sqrt{5}m}{9+4{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{16}{9+4{m}^{2}}$，
由|PM|=2|MQ|，可得$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{MQ}$，
即有-y₁=2y₂，代入韋達(dá)定理可得，
m²=$\frac{1}{4}$，可得m=±$\frac{1}{2}$，
故所求直線方程為2x+y+2$\sqrt{5}$=0或2x-y+2$\sqrt{5}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．