Question

17．如圖，一拋物線型拱橋的拱頂O離水面高4米，水面寬度AB=10米．現(xiàn)有一竹排運(yùn)送一只貨箱欲從橋下經(jīng)過(guò)，已知貨箱長(zhǎng)20米，寬6米，高2.58米（竹排與水面持平），問(wèn)貨箱能否順利通過(guò)該橋？

Answer 1

分析 可以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，從而根據(jù)條件即可求出拋物線的方程為${x}^{2}=-\frac{25}{4}y$，根據(jù)條件可以設(shè)C（3，-4），過(guò)C作AB的垂線交拋物線于D（3，y₀），帶入拋物線方程便可求出y₀，從而可求出|CD|的值，與貨箱的高2.58比較便可判斷出貨箱能否順利通過(guò)該橋．

解答 解：以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)O垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：
設(shè)拋物線方程為x²=my，根據(jù)題意知點(diǎn)B（5，-4）在拋物線上；
∴25=-4m；
∴$m=-\frac{25}{4}$；
∴${x}^{2}=-\frac{25}{4}y$；
可設(shè)C（3，-4），過(guò)C作AB的垂線，交拋物線于D（3，y₀），則$9=-\frac{25}{4}{y}_{0}$；
∴${y}_{0}=-\frac{36}{25}$；
∴$|CD|=\frac{36}{25}＜2.58$；
∴貨箱不能順利通過(guò)該橋．

點(diǎn)評(píng) 考查通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，利用曲線方程解決實(shí)際問(wèn)題的方法，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，待定系數(shù)法求拋物線的方程，以及拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線方程的關(guān)系．