17.如圖,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,AD=4,M為側(cè)棱PC的中點(diǎn).
(1)求異面直線AM與PB所成角;
(2)求直線AM與平面BPC所成角的正弦值.

分析 (1)以A為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,求出$\overrightarrow{AM}$,$\overrightarrow{PB}$的向量坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積直接求解異面直線AM與PB所成角的大。
(2)求出平面BPC的法向量,AM的向量,利用空間向量的數(shù)量積以及直線和平面所成角的定義進(jìn)行求解即可.

解答 解:(1)如圖所示,以A為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,4,0),P(0,0,2),C(2,4,0),M(1,2,1),
∵$\overrightarrow{AM}$=(1,2,1),$\overrightarrow{PB}$=(2,0,-2),
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{PB}$=(1,2,1)•(2,0,-2)=1×2-1×2=0,
∴$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{PB}$,則AM⊥PB,
∴異面直線AM與PD所成角為90°.
(2)設(shè)平面BPC的法向量為$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
∵$\overrightarrow{BC}=(0,4,0),\overrightarrow{BP}=(-2,0,2)$,并且$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{BC},\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{BP}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}4y=0\\-2x+2z=0\end{array}\right.$,令x=1得z=1,y=0,
∴平面MBD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=(1,0,1),
∵$\overrightarrow{AM}$=(1,2,1),
∴cos<$\overrightarrow{AM}$,$\overrightarrow{m}$>=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
設(shè)直線AM與平面BPC所成角為θ,θ∈(0,$\frac{π}{2}$),
則sinθ=|cos<$\overrightarrow{AM}$,$\overrightarrow{m}$>|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴直線AM與平面BPC所成角的正弦值$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間異面直線所成角以及直線和平面所成角的大小的計(jì)算,建立坐標(biāo)系,利用向量法以及向量的數(shù)量積是解決本題的關(guān)鍵.考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下,認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān)
B.約有95%的打鼾者患心臟病
C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下,認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān)
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