Question

18．如圖在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，已知AD=PD，PA=6，BC=8，DF=5，求證：
（1）直線PA∥平面DEF；
（2）平面DEF⊥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）由D、E為PC、AC的中點，得出DE∥PA，從而得出PA∥平面DEF；
（2）要證平面BDE⊥平面ABC，只需證DE⊥平面ABC，即證DE⊥EF，且DE⊥AC即可

解答 證明：（1）因為D，E是PC，AC中點，
∴PA∥DE
∵DE?平面DEF，PA?平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（2）因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，
∴PA=2DE，BC=2FE
∵PA=6，BC=8，DF=5
∴DE=3，EF=4，DF=5，
∴DE²+EF²=DF²∴DE⊥EF，
∵PD=AD，D為PC的中點
∴AD=DC
∵E為AC的中點，
∴DE⊥AC
∵AC∩EF=E，
∴DE⊥平面ABC，
∵DE?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面ABC．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直問題，解題時應(yīng)明確空間中的線線、線面、面面之間的垂直與平行的互相轉(zhuǎn)化關(guān)系，是中檔題．