Question

13．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為$\frac{π}{2}$，圖象過點P（0，1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由函數(shù)y=f（x）的圖象上所有的點向左平行移動$\frac{π}{6}$個單位長度而得到，且g（x）在區(qū)間（0，m）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由周期求得ω，根據(jù)特殊點的坐標求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得實數(shù)m的范圍．

解答 解：（1）由題意可得$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=4．
再把點P（0，1）代入可得sinφ=1，結(jié)合0＜φ＜π可得φ=$\frac{π}{2}$，∴f（x）=sin（4x+$\frac{π}{2}$）=cos4x．
（2）由題意可得，g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）=cos（4x+$\frac{2π}{3}$），由x∈（0，m），可得4x+$\frac{2π}{3}$∈（$\frac{2π}{3}$，4m+$\frac{2π}{3}$）．
再根據(jù)g（x）在區(qū)間（0，m）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，可得4m+$\frac{2π}{3}$≤π，求得m≤$\frac{π}{12}$，故m的最大值為$\frac{π}{12}$．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．