Question

18．已知方程x²+bx+c=0的兩根為tanα，tanβ，求證sin²（α+β）+bsin（α+β）cos（α+β）+ccos²（α+β）=c．

Answer 1

分析 因為tanα，tanβ是方程x²+bx+c=0的兩根，所以根據(jù)根與系數(shù)的關系求出tanα+tanβ和tanαtanβ的值，然后利用兩角和正切函數(shù)公式求出tan（α+β）的值，把所求的式子提取cos²（α+β）=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}（α+β）}$后得到關于tan（α+β）的關系式，把tan（α+β）的值代入即可證明等式左邊等于右邊，從而得證．

解答 解：（1）由韋達達定理知$\left\{\begin{array}{l}{tanα+tanβ=-b}\\{tanα•tanβ=c}\end{array}\right.$，又tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=-$\frac{1-c}$，
∴等式左邊=sin²（α+β）+bsin（α+β）cos（α+β）+ccos²（α+β）
cos²（α+β）[tan²（α+β）+btan（α+β）+c]
=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}（α+β）}$[tan²（α+β）+btan（α+β）+c]
=$\frac{1}{1+\frac{^{2}}{（c-1）^{2}}}$[$\frac{^{2}}{（c-1）^{2}}$+$\frac{^{2}}{c-1}$+c]
=$\frac{c（1+^{2}+{c}^{2}-2c）}{1+^{2}+{c}^{2}-2c}$
=c=右邊，故得證．

點評 本題主要考查學生靈活運用兩角和與差的正切函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關系化簡求值，靈活運用韋達定理解決數(shù)學問題，屬于中檔題