Question

設(shè){a_n}是公比為q的等比數(shù)列．
（Ⅰ）推導(dǎo){a_n}的前n項和公式；
（Ⅱ）設(shè)q≠1，證明數(shù)列{a_n+2}不是等比數(shù)列．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,等比數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）先看q=1時，直接求得前n項的和，再看q≠1時，利用作差法求得．
（Ⅱ）先假設(shè)結(jié)論成立，利用等比中項的性質(zhì)確定等式求得q，看與已知矛盾．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)q=1時a_n=a₁，
前n項的和S=na₁，
當(dāng)q≠1時，前n項的和S=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1，①
等式兩邊同時乘以q得qS=a₁q+a₁q²+…+a₁qⁿ，②
①-②得（1-q）S=a₁-a₁qⁿ，
∴S=

a1(1-qn)

1-q

．
綜合得S=

na1，q=1 a1(1-qn) 1-q ，q≠1

．
（Ⅱ）證明：假設(shè)數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，
則有（a₂+2）2=（a₁+2）（a₃+2），即（a₁q+2）=（a₁+2）（a₁q²+2），
整理得q²-2p+1=0，求得q=1，與已知矛盾，
故數(shù)列{a_n+2}不是等比數(shù)列．

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式和性質(zhì)．考查了學(xué)生分析和推理的能力．