Question

2．已知函數(shù)f（x）=log₂$\frac{2x-1}{2x+1}$，g（x）=log₂$\frac{2x+1}{8x+12}$．
（1）求證：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；
（2）求證：f（x+1）-2=g（x），并指出函數(shù)y=g（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中的解析式，證明出函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)轉(zhuǎn)化函數(shù)y=f（x）的解析式，可得f（x+1）-2=g（x），根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，可得函數(shù)y=g（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)．

解答 證明：（1）函數(shù)f（x）=log₂$\frac{2x-1}{2x+1}$的定義域（$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）關(guān)于原點對稱，
∵f（-x）=log₂$\frac{-2x-1}{-2x+1}$=log₂$\frac{2x+1}{2x-1}$=-log₂$\frac{2x-1}{2x+1}$=-f（x）．
故函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)，
故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；
（2）∵f（x+1）-2=${log}_{2}\frac{2（x+1）-1}{2（x+1）+1}$-2=${log}_{2}\frac{2x+1}{2x+3}$-log₂4=log₂$\frac{2x+1}{8x+12}$．
∴f（x+1）-2=g（x），
即函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移一個單位，再向下平移一個單位可得函數(shù)y=g（x）的圖象，
故函數(shù)y=g（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)為（-1，-2）

點評 本題考查的知識是函數(shù)圖象的平移變換，函數(shù)的奇偶性，對數(shù)的運算性質(zhì)，難度中檔．