Question

13．已知f（x）=-e^x+ex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²+ax，若對(duì)任意x₁∈（0，2]，總存在x₂∈（0，2]．使得g（x₁）＜f（x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）由題意可得g（x₁）＜f（x₂）_max．由（Ⅰ）可得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）＜0在x∈（0，2]恒成立．運(yùn)用參數(shù)分離，求得不等式右邊函數(shù)的最大值，即可得到所求a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=-e^x+ex的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-e^x+e，
當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
故f（x）_max=f（1）=0；
（Ⅱ）對(duì)任意x₁∈（0，2]，總存在x₂∈（0，2]，
使得g（x₁）＜f（x₂）等價(jià)于g（x₁）＜f（x₂）_max．
由（Ⅰ）可知f（x₂）_max=f（1）=0．
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）＜0在x∈（0，2]恒成立．
參變量分離得：-a＞$\frac{lnx+\frac{1}{2}{x}^{2}}{x}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$x，
令r（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$x，x∈（0，2]，
r′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{2}$，由0＜x≤2時(shí)，1-lnx＞0，得r′（x）＞0，
即r（x）在x₁∈（0，2]上單增．
故-a＞r（x）_max=r（2）=$\frac{ln2}{2}$+1．
綜上：a＜-$\frac{ln2}{2}$-1，
即a的取值范圍為  （-∞，-$\frac{ln2}{2}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查任意性和存在性的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法，求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．