Question

10．在直角坐標系xOy中，直線l經過點P（-1，0），且傾斜角為α，以原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸，取與直角坐標系xOy相同的長度單位，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ．
（1）若直線l與曲線C有公共點，求α的取值范圍；
（2）求直線l₁：x-$\sqrt{3}$y=0被曲線C所截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）由直線l經過點P（-1，0），且傾斜角為α，利用點斜式可得直線方程．曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標方程．由直線l與曲線C有公共點，可得$\frac{|2tanα|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$≤1，解出即可得出．
（2）圓心到直線的距離d=$\frac{1}{2}$，可得弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-xvmax6o^{2}}$．

解答 解：（1）由直線l經過點P（-1，0），且傾斜角為α，可得直線方程：y=（x+1）tanα，
曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，可得直角坐標方程：x²+y²-2x=0，可得（x-1）²+y²=1，
∵直線l與曲線C有公共點，∴$\frac{|2tanα|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$≤1，可得：tan²α≤$\frac{1}{3}$，∴$-\frac{\sqrt{3}}{3}$≤tanα≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵α∈[0，π），∴α∈$[0，\frac{π}{6}]$∪$[\frac{5π}{6}，π）$．
（2）圓心到直線的距離d=$\frac{1}{2}$，
∴直線l₁：x-$\sqrt{3}$y=0被曲線C所截得的弦長L=2$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了曲線的相交弦長、極坐標化為直角坐標方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．